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Aperçu du cours Maths MP

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Maths MP

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Chapitres

1. Intégration sur un intervalle quelconque
- 1.1. Rappels de première année
- 1.2. Premières définitions
- 1.3. Intégrales de référence
- 1.4. Propriétés de l'intégrale généralisée
- 1.5. Fonctions positives
- 1.6. Absolue convergence
- 1.7. Nouveaux outils asymptotiques
- 1.8. Intégration par partie et changement de variable
- 1.9. Intégration des relations de comparaison
- 1.10. Théorème de convergence dominée
- 1.11. Développement : intégrale de Gauss
- 1.12. exos MP : intégration sur un intervalle quelconque
2. Intégrales à paramètre
- 2.1. Continuité
- 2.2. Dérivation
- 2.3. Classe Ck
- 2.4. Développement : fonction Gamma
- 2.5. Développement : intégrale de Dirichlet
- 2.6. exos MP : intégrales à paramètres
3. Topologie des espaces vectoriels normés
- 3.1. Définitions
- 3.2. Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé
- 3.3. Valeurs d'adhérence
- 3.4. Comparaison
- 3.5. Premières notions topologiques
- 3.6. Caractérisation séquentielle
- 3.7. Notions relatives
- 3.8. Etude locale d'une application
- 3.9. Continuité
- 3.10. Connexité par arc
- 3.11. Applications linéaires et multilinéaires continues
- 3.12. Compacité
- 3.13. Espaces vectoriels normés en dimension finie
- 3.14. Développement : suites de Cauchy et théorème de point fixe
- 3.15. exos MP : topologie des espaces des vectoriels
4. Séries numériques et vectorielles
- 4.1. Rappels sur les séries numériques
- 4.2. Séries vectorielles
- 4.3. Sommation des relations de comparaison
- 4.4. Comparaison Série-Intégrale
- 4.5. Développement : transformation d'Abel
- 4.6. Développement : Equivalent de Stirling
- 4.7. exos MP : séries
5. Familles sommables
- 5.1. Termes positifs
- 5.2. Familles sommables de nombres complexes
- 5.3. Développement : série des inverses des nombres premiers
- 5.4. exos MP : familles sommables
6. Suites de fonctions
- 6.1. Convergence simple
- 6.2. Convergence uniforme
- 6.3. Approximation uniforme
- 6.4. 4 théorèmes fondamentaux
- 6.5. Complément : équirépartition
- 6.6. exos MP : suites de fonctions
7. Séries de fonctions
- 7.1. Définitions
- 7.2. Application des théorèmes de suites de fonctions
- 7.3. La pratique
- 7.4. Inversion série-intégrale
- 7.5. Développement : la fonction zeta aux entiers pairs strictement positifs
- 7.6. Développement : fonction continue mais nulle part dérivable
- 7.7. exos MP : séries de fonctions
8. Séries entières
- 8.1. Rayon de convergence
- 8.2. Opérations sur les séries entières
- 8.3. Régularité des séries entières
- 8.4. Développement en série entière
- 8.5. Théorème radial d'Abel
- 8.6. Application 1 : calcul d'intégrale
- 8.7. Application 2 : résolution d'un équation différentielle
- 8.8. Application 3 : combinatoire
- 8.9. Application 4 : inégalité
- 8.10. Développement : preuve du théorème radial d'Abel
- 8.11. exos MP : séries entières
9. Structures algébriques usuelles
- 9.1. Définition d'un groupe
- 9.2. Groupe des entiers relatifs
- 9.3. Groupe Z/nZ
- 9.4. Groupe de permutations
- 9.5. Partie génératrice
- 9.6. Ordre d'un élément
- 9.7. Rappels sur la structure d'anneau
- 9.8. Anneau Z/nZ
- 9.9. Idéaux
- 9.10. Idéaux de Z et de K[X]
- 9.11. K-Algèbres
- 9.12. Développement : preuve du théorème de Lagrange
- 9.13. Développement : irréductibilité de Z[X]
- 9.14. Développement : polynômes cyclotomiques
10. Réduction
- 10.1. Compléments d'algèbre linéaire
- 10.2. Le calcul par blocs
- 10.3. Polynômes évalués en un élément d'une K-algèbre
- 10.4. Le coeur de l'algèbre linéaire
- 10.5. Eléments propres d'un endomorphisme
- 10.6. Eléments propres d'une matrices carrée
- 10.7. Polynôme caractéristique
- 10.8. Diagonalisabilité
- 10.9. Une diagonalisation concrète
- 10.10. Trigonalisation
- 10.11. Nilpotence
- 10.12. Polynômes annulateurs et minimaux
- 10.13. Lemme des noyaux
- 10.14. Approche polynomiale de la réduction
- 10.15. Sous-espaces caractéristiques
- 10.16. Développement : Théorème de Cayley-Hamilton
- 10.17. exos MP : réduction
11. Endomorphismes d'un espace euclidien
- 11.1. Définition de l'adjoint
- 11.2. Propriétés de l'adjoint
- 11.3. Lien transposition et adjonction
- 11.4. Matrices orthogonales
- 11.5. Isométries vectorielles
- 11.6. Orientation
- 11.7. Le groupe orthogonal en dimension 2
- 11.8. Réduction des isométries
- 11.9. Endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien
- 11.10. Théorème spectral
- 11.11. Endomorphismes autoadjoints positifs, définis positifs
- 11.12. Développement : décomposition QR
- 11.13. exos MP : euclidien
12. Probabilités
- 12.1. Dénombrement
- 12.2. Axiomatisation
- 12.3. Probabilités conditionnelles et indépendance
- 12.4. Espaces probabilisés discrets
- 12.5. Variables aléatoires discrètes
- 12.6. Variables aléatoires indépendantes
- 12.7. Lois usuelles
- 12.8. Espérance de variables aléatoires
- 12.9. Variance d'une variable aléatoire réelle, écart type et covariance
- 12.10. Inégalités probabilistes et loi faible des grands nombres
- 12.11. Fonctions génératrices
- 12.12. Développement : preuve probabiliste du théorème de Weierstrass
- 12.13. Développement : temps d'attente
- 12.14. Développement : graphe aléatoire et transition de phase
- 12.15. exos MP : probabilités
13. Fonctions vectorielles
- 13.1. Dérivabilité
- 13.2. Opérations sur les fonctions dérivables
- 13.3. Applications de classe Ck
- 13.4. Intégration sur un segment
- 13.5. Formules de Taylor
- 13.6. exos MP : fonctions vectorielles
14. Exponentielle d'un endomorphisme, d'une matrice
- 14.1. Définition
- 14.2. Propriétés algébriques de l'exponentielle
- 14.3. Régularité de l'exponentielle
- 14.4. Apparition d'une équation différentielle
- 14.5. Développement : comportement exp(tA) lorsque t grand
- 14.6. Développement : exp(matrices) = matrices inversibles
15. Calcul différentiel et optimisation
- 15.1. Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles
- 15.2. Différentielle
- 15.3. Lien entre différentielles, dérivées partielles, et Jacobienne
- 15.4. Gradient
- 15.5. Opérations sur les fonctions différentiables
- 15.6. Vecteurs tangents
- 15.7. Applications de classe C1
- 15.8. Optimisation : étude au premier ordre
- 15.9. Applications de classe Ck
- 15.10. Optimisation : étude au second ordre
- 15.11. Développement : différentielle du déterminant
- 15.12. exos MP : calcul différentiel
16. Equations différentielles linéaires
- 16.1. Problème de Cauchy
- 16.2. Propriété des solutions
- 16.3. Théorème de Cauchy
- 16.4. Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants
- 16.5. Rappels de première année
- 16.6. Wronskien
- 16.7. Variation de la constante
- 16.8. Idée de la démonstration du théorème de Cauchy
- 16.9. Développement : démonstration du théorème de Cauchy
- 16.10. Développement : unicité du théorème de Cauchy
- 16.11. exos MP : équations différentielles