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  • 5. Familles sommables
  • 5.3. Développement : série des inverses des nombres premiers

Aperçu du cours Maths MP

5. Familles sommables

5.3. Développement : série des inverses des nombres premiers

Nous savons que la série harmonique diverge. Si l'on considère une partie de plus petite que , nous pouvons nous interroger sur le comportement de lorsque certains entiers sont exclus. Une question particulièrement intéressante est de savoir ce qui se passe lorsque est l'ensemble des nombres premiers.
Exemple
  1. Soit une famille de réels positifs et une suite croissante de parties de telles que
    Montrer que
  2. La fonction de Riemann est définie par
    Montrer que
  3. On notera l'ensemble des nombres premiers. En utilisant la question précédente, montrer que
    (1)
  4. Montrer que
    On pourra démontrer qu'il existe une constante telle que
  5. Montrer que
  6. Conclure que
Quelque chose d'assez surprenant vient de se produire : nous avons dĂ©montrĂ© l'infinitĂ© des nombres premiers sans recourir, apparemment, Ă  l'arithmĂ©tique traditionnelle. En effet, si l'ensemble des nombres premiers Ă©tait fini, alors la somme serait finie. Nous avons utilisĂ© des outils purement analytiques, et la dĂ©monstration de l'Ă©quation (1) nous a fait comprendre que nous avons intĂ©grĂ© la partie existence et unicitĂ© du thĂ©orème fondamental de l'arithmĂ©tique dans une simple formule. C'est le tout dĂ©but de la fabuleuse thĂ©orie analytique des nombres.
  1. Comme la suite des est croissante, on sait que la suite est Ă©galement croissante et admet donc une limite dans lorsque , que nous notons . Puisque les sont des sous-ensembles de , on a toujours
    et donc en passant à la limite . Examinons maintenant l'inégalité dans l'autre sens. Soit une partie finie de . On peut alors trouver tel que puisque est finie. Ainsi,
    En prenant la borne supérieure sur toutes les parties finies de , on obtient que . Nous avons donc bien démontré le résultat souhaité.


  2. Nous savons que nous commettons seulement une erreur en en remplaçant une somme par une intégrale lorsque les fonctions sont "gentilles" (monotones et positives). Or, ici, nous allons montrer en particulier que diverge en , rendant l'erreur précédente négligeable. Nous nous lançons donc dans la comparaison série-intégrale.

    Soit . Nous définissons par
    qui est positive et décroissante.

    Soit . Un dessin illustrerait que
    Tout converge et nous pouvons alors sommer directement pour allant de Ă  l'infini :
    Nous venons donc de montrer que
    ce qui implique que
    ce qui est en fait un résultat plus fort que demandé.


  3. Soit . Pour tout , notons le -ième nombre premier. Il s'agit d'un produit infini, et bien que nous ne soyons pas forcément très à l'aise avec ce concept, il s'agit de montrer que
    Comme et que tout est positif, on peut Ă©crire :
    où désigne l'ensemble des entiers de dont la décomposition en nombres premiers n'en fait apparaître au plus que . Pour affirmer une telle chose, nous avons utilisé l'unicité de la décomposition en produit de nombres premiers. Encore une fois, tout est positif, il n'y a donc aucun problème à regrouper les termes. Or, la partie existence du théorème fondamental de l'arithmétique donne que
    Les forment bien une suite croissante de , la question initiale montre alors que
  4. Soit . La question précédente et la continuité de donne
    On a alors :
    Comme les , l'inégalité proposée en indication donnerait que
    Nous avons donc bien , ce qui confirme le résultat. Il reste juste à démontrer l'inégalité. Nous posons définie sur par
    prolongée par continuité en par (ceci est justifié par le développement limité de en ). est donc une fonction continue sur un compact, et est ainsi bornée, ce qui démontre l'existence d'une constante .


  5. Nous avons vu que et donc . La question précédente donne alors que
    et donc le résultat.

  6. Supposons par l'absurde que converge. Alors, on a pour tout ,
    qui fournit une domination indépendante de et sommable par hypothèse. Le théorème de convergence dominée à paramètre continu donne alors que
    ce qui contredit la question précédente puisque est censé diverger lorsque .
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Chapitres

  • 1. Intégration sur un intervalle quelconque
    • 1.1. Rappels de première année
    • 1.2. Premières définitions
    • 1.3. Intégrales de référence
    • 1.4. Propriétés de l'intégrale généralisée
    • 1.5. Fonctions positives
    • 1.6. Absolue convergence
    • 1.7. Nouveaux outils asymptotiques
    • 1.8. Intégration par partie et changement de variable
    • 1.9. Intégration des relations de comparaison
    • 1.10. Théorème de convergence dominée
    • 1.11. Développement : intégrale de Gauss
    • 1.12. exos MP : intégration sur un intervalle quelconque
  • 2. Intégrales à paramètre
    • 2.1. Continuité
    • 2.2. Dérivation
    • 2.3. Classe Ck
    • 2.4. Développement : fonction Gamma
    • 2.5. Développement : intégrale de Dirichlet
    • 2.6. exos MP : intégrales à paramètres
  • 3. Topologie des espaces vectoriels normés
    • 3.1. Définitions
    • 3.2. Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé
    • 3.3. Valeurs d'adhérence
    • 3.4. Comparaison
    • 3.5. Premières notions topologiques
    • 3.6. Caractérisation séquentielle
    • 3.7. Notions relatives
    • 3.8. Etude locale d'une application
    • 3.9. Continuité
    • 3.10. Connexité par arc
    • 3.11. Applications linéaires et multilinéaires continues
    • 3.12. Compacité
    • 3.13. Espaces vectoriels normés en dimension finie
    • 3.14. Développement : suites de Cauchy et théorème de point fixe
    • 3.15. exos MP : topologie des espaces des vectoriels
  • 4. Séries numériques et vectorielles
    • 4.1. Rappels sur les séries numériques
    • 4.2. Séries vectorielles
    • 4.3. Sommation des relations de comparaison
    • 4.4. Comparaison Série-Intégrale
    • 4.5. Développement  : transformation d'Abel
    • 4.6. Développement : Equivalent de Stirling
    • 4.7. exos MP : séries
  • 5. Familles sommables
  • 6. Suites de fonctions
    • 6.1. Convergence simple
    • 6.2. Convergence uniforme
    • 6.3. Approximation uniforme
    • 6.4. 4 théorèmes fondamentaux
    • 6.5. Complément : équirépartition
    • 6.6. exos MP : suites de fonctions
  • 7. Séries de fonctions
    • 7.1. Définitions
    • 7.2. Application des théorèmes de suites de fonctions
    • 7.3. La pratique
    • 7.4. Inversion série-intégrale
    • 7.5. Développement : la fonction zeta aux entiers pairs strictement positifs
    • 7.6. Développement : fonction continue mais nulle part dérivable
    • 7.7. exos MP : séries de fonctions
  • 8. Séries entières
    • 8.1. Rayon de convergence
    • 8.2. Opérations sur les séries entières
    • 8.3. Régularité des séries entières
    • 8.4. Développement en série entière
    • 8.5. Théorème radial d'Abel
    • 8.6. Application 1 : calcul d'intégrale
    • 8.7. Application 2 : résolution d'un équation différentielle
    • 8.8. Application 3 : combinatoire
    • 8.9. Application 4 : inégalité
    • 8.10. Développement : preuve du théorème radial d'Abel
    • 8.11. exos MP : séries entières
  • 9. Structures algébriques usuelles
    • 9.1. Définition d'un groupe
    • 9.2. Groupe des entiers relatifs
    • 9.3. Groupe Z/nZ
    • 9.4. Groupe de permutations
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    • 9.6. Ordre d'un élément
    • 9.7. Rappels sur la structure d'anneau
    • 9.8. Anneau Z/nZ
    • 9.9. Idéaux
    • 9.10. Idéaux de Z et de K[X]
    • 9.11. K-Algèbres
    • 9.12. Développement : preuve du théorème de Lagrange
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  • 10. Réduction
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    • 10.6. Eléments propres d'une matrices carrée
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    • 10.9. Une diagonalisation concrète
    • 10.10. Trigonalisation
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    • 10.12. Polynômes annulateurs et minimaux
    • 10.13. Lemme des noyaux
    • 10.14. Approche polynomiale de la réduction
    • 10.15. Sous-espaces caractéristiques
    • 10.16. Développement : Théorème de Cayley-Hamilton
    • 10.17. exos MP : réduction
  • 11. Endomorphismes d'un espace euclidien
    • 11.1. Définition de l'adjoint
    • 11.2. Propriétés de l'adjoint
    • 11.3. Lien transposition et adjonction
    • 11.4. Matrices orthogonales
    • 11.5. Isométries vectorielles
    • 11.6. Orientation
    • 11.7. Le groupe orthogonal en dimension 2
    • 11.8. Réduction des isométries
    • 11.9. Endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien
    • 11.10. Théorème spectral
    • 11.11. Endomorphismes autoadjoints positifs, définis positifs
    • 11.12. Développement : décomposition QR
    • 11.13. exos MP : euclidien
  • 12. Probabilités
    • 12.1. Dénombrement
    • 12.2. Axiomatisation
    • 12.3. Probabilités conditionnelles et indépendance
    • 12.4. Espaces probabilisés discrets
    • 12.5. Variables aléatoires discrètes
    • 12.6. Variables aléatoires indépendantes
    • 12.7. Lois usuelles
    • 12.8. Espérance de variables aléatoires
    • 12.9. Variance d'une variable aléatoire réelle, écart type et covariance
    • 12.10. Inégalités probabilistes et loi faible des grands nombres
    • 12.11. Fonctions génératrices
    • 12.12. Développement : preuve probabiliste du théorème de Weierstrass
    • 12.13. Développement : temps d'attente
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    • 12.15. exos MP : probabilités
  • 13. Fonctions vectorielles
    • 13.1. Dérivabilité
    • 13.2. Opérations sur les fonctions dérivables
    • 13.3. Applications de classe Ck
    • 13.4. Intégration sur un segment
    • 13.5. Formules de Taylor
    • 13.6. exos MP : fonctions vectorielles
  • 14. Exponentielle d'un endomorphisme, d'une matrice
    • 14.1. Définition
    • 14.2. Propriétés algébriques de l'exponentielle
    • 14.3. Régularité de l'exponentielle
    • 14.4. Apparition d'une équation différentielle
    • 14.5. Développement : comportement exp(tA) lorsque t grand
    • 14.6. Développement : exp(matrices) = matrices inversibles
  • 15. Calcul différentiel et optimisation
    • 15.1. Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles
    • 15.2. Différentielle
    • 15.3. Lien entre différentielles, dérivées partielles, et Jacobienne
    • 15.4. Gradient
    • 15.5. Opérations sur les fonctions différentiables
    • 15.6. Vecteurs tangents
    • 15.7. Applications de classe C1
    • 15.8. Optimisation : étude au premier ordre
    • 15.9. Applications de classe Ck
    • 15.10. Optimisation : étude au second ordre
    • 15.11. Développement : différentielle du déterminant
    • 15.12. exos MP : calcul différentiel
  • 16. Equations différentielles linéaires
    • 16.1. Problème de Cauchy
    • 16.2. Propriété des solutions
    • 16.3. Théorème de Cauchy
    • 16.4. Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants
    • 16.5. Rappels de première année
    • 16.6. Wronskien
    • 16.7. Variation de la constante
    • 16.8. Idée de la démonstration du théorème de Cauchy
    • 16.9. Développement : démonstration du théorème de Cauchy
    • 16.10. Développement : unicité du théorème de Cauchy
    • 16.11. exos MP : équations différentielles