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On voudrait un théorème donnant la continuité de sur . Quelles sont les hypothèses naturelles pour construire un théorème ? Évidemment, pour pouvoir considérer l'intégrale, on a besoin que pour tout , la fonction soit continue par morceaux. Maintenant, on voudrait que existe bien pour tout . On pourrait rajouter dans le théorème que converge bien pour tout , mais en mathématiques, la convergence d'intégrales n'est pas très souple; on demande plutôt l'absolue convergence.

Imaginons que nous voulions un théorème qui nous dise quand est continue, avec et deux fonctions. Il est évident qu'une hypothèse élégante serait que et soient continues. Plus généralement, si nous voulons un théorème sur continues, on demandera que pour tout , soit continue. Ici, l'analogue continu serait alors l'hypothèse que
Enfin, le monde des intégrales est non trivial, on ne peut pas faire ce que l'on veut, sauf si on contrôle les choses. On demandera alors une hypothèse de domination :
La clé ici est de remarquer que ne dépend pas de . L'obsession dans les exercices sera alors de regarder et de chercher par tous les moyens possibles de le majorer par quelque chose qui ne dépend pas du paramètre . Évidemment, on pourrait tout à fait faire des majorations grossières et on aurait l'impression d'avoir fait tout comme il faut, mais il y a une hypothèse qui est rajoutée qui nous interdit la grossièreté, qui est :