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Aperçu du cours Maths MP

6. Suites de fonctions

6.2. Convergence uniforme

Soient et deux espaces vectoriels de dimension finie, et une partie de . Nous considérons une suite de fonctions de dans .
Définition
Soit . On dit que converge uniformément vers si
où est une norme fixée de .

On dira que est la limite uniforme de la suite.
Remarques
  • La définition de la convergence simple avec les quantificateurs s'écrirait
    Autrement dit, dans la convergence uniforme, le rang est indépendant (ou uniforme) en .

  • Le point précédent donne clairement que la convergence uniforme entraîne la convergence simple. La réciproque est fausse.

  • Nous avons vu qu'il y avait unicité pour la convergence simple, le point précédent donne alors que la limite uniforme est également unique. Comme la convergence simple ne dépend pas de la norme qu'on s'est fixée sur , nous en déduisons également que la limite uniforme ne dépend pas de la norme choisie.

  • En analyse, la technique classique pour montrer qu'une suite converge vers une limite est de regarder et de chercher par tous les moyens à la majorer par quelque chose qui tend vers . Pour la convergence simple, on essaierait de majorer par un majorant qui dépend éventuellement de et qui tend vers . L'obsession pour la convergence uniforme est d'arriver à majorer par quelque chose qui ne dépend plus de mais qui tend vers .

  • Écrivons d'une autre manière la définition. Pour des fonctions bornées , on peut définir la norme uniforme de par
    En prenant dans la définition, on obtient que est bornée à partir d'un certain rang. On comprend alors qu'on peut réécrire la définition de la convergence uniforme en disant que converge uniformément vers si et seulement si est bornée à partir d'un certain rang et
    Cela donne alors une certaine intuition géométrique de la convergence uniforme. Les convergent uniformément vers si, pour tout épaississement de la courbe (on dit qu'on forme un tube autour de de rayon ), à partir d'un certain rang, sera dans ce tube.

  • Le cadre agréable du point précédent est de se placer sur l'espace des fonctions bornées de dans qu'on munit de la norme uniforme. Considérons une suite d'éléments de et . La convergence uniforme des vers n'est rien d'autre que d'affirmer que au sens de la norme uniforme.

  • Le cas où est un compact de se produira assez souvent. Comme nous aurons affaire à des fonctions continues, on sait que les fonctions seront bornées et donc l'utilisation des normes infinies est assez sympathique.
Exemple
Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions définie par
Correction
On commence par étudier la convergence simple.


Soit . on voit facilement que
Etudions donc la convergence uniforme de vers sur l'intervalle . Pour cela, il nous faut comprendre la norme infnie de . On se doute que le ne va pas jouer un rôle important dans la convergence uniforme, c'est surtout qui tend rapidement vers qui . On a :
Nous sommes donc ramenés à vouloir majorer la fonction . Pour la compprendre, dérivons-la:
est donc croissante et positive sur l'intervalle puis décroissante et positive sur . Donc,
ne tend pas vers lorsque . Nous avons été trop gourmand en utilisant
Les choses semblent se passer autour de et donc à proximité de . Or, l'inégalité ci-dessus est très mauvaise pour proche de 0.

Ecrivons plutôt l'inégalité
Montrons que converge uniformément vers . On sait que
Une étude de fonction assez simple montre que est positive est majorée par son maximum qui est .

Ainsi,
Proposition
Soit et deux suites de fonctions de dans qui convergent respectivement uniformément vers et .

  • converge uniformément vers .
  • Supposons que et sont bornées pour tout , alors converge uniformément vers .
Preuve
Fixons une norme de .
  • Soit . On sait qu'on peut trouver tel que
    et tel que
    Ainsi, pour ,
    D'où le résultat.

  • Faisons apparaître les termes que nous maîtrisons :
    Pour suffisamment grand, est borné et aussi. L'égalité précédente montre alors qu'à partir d'un certain rang, est borné et l'inégalité triangulaire donne que
    où le terme de droite tend bien vers .
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Chapitres

  • 1. Intégration sur un intervalle quelconque
    • 1.1. Rappels de première année
    • 1.2. Premières définitions
    • 1.3. Intégrales de référence
    • 1.4. Propriétés de l'intégrale généralisée
    • 1.5. Fonctions positives
    • 1.6. Absolue convergence
    • 1.7. Nouveaux outils asymptotiques
    • 1.8. Intégration par partie et changement de variable
    • 1.9. Intégration des relations de comparaison
    • 1.10. Théorème de convergence dominée
    • 1.11. Développement : intégrale de Gauss
    • 1.12. exos MP : intégration sur un intervalle quelconque
  • 2. Intégrales à paramètre
    • 2.1. Continuité
    • 2.2. Dérivation
    • 2.3. Classe Ck
    • 2.4. Développement : fonction Gamma
    • 2.5. Développement : intégrale de Dirichlet
    • 2.6. exos MP : intégrales à paramètres
  • 3. Topologie des espaces vectoriels normés
    • 3.1. Définitions
    • 3.2. Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé
    • 3.3. Valeurs d'adhérence
    • 3.4. Comparaison
    • 3.5. Premières notions topologiques
    • 3.6. Caractérisation séquentielle
    • 3.7. Notions relatives
    • 3.8. Etude locale d'une application
    • 3.9. Continuité
    • 3.10. Connexité par arc
    • 3.11. Applications linéaires et multilinéaires continues
    • 3.12. Compacité
    • 3.13. Espaces vectoriels normés en dimension finie
    • 3.14. Développement : suites de Cauchy et théorème de point fixe
    • 3.15. exos MP : topologie des espaces des vectoriels
  • 4. Séries numériques et vectorielles
    • 4.1. Rappels sur les séries numériques
    • 4.2. Séries vectorielles
    • 4.3. Sommation des relations de comparaison
    • 4.4. Comparaison Série-Intégrale
    • 4.5. Développement  : transformation d'Abel
    • 4.6. Développement : Equivalent de Stirling
    • 4.7. exos MP : séries
  • 5. Familles sommables
  • 6. Suites de fonctions
    • 6.1. Convergence simple
    • 6.2. Convergence uniforme
    • 6.3. Approximation uniforme
    • 6.4. 4 théorèmes fondamentaux
    • 6.5. Complément : équirépartition
    • 6.6. exos MP : suites de fonctions
  • 7. Séries de fonctions
    • 7.1. Définitions
    • 7.2. Application des théorèmes de suites de fonctions
    • 7.3. La pratique
    • 7.4. Inversion série-intégrale
    • 7.5. Développement : la fonction zeta aux entiers pairs strictement positifs
    • 7.6. Développement : fonction continue mais nulle part dérivable
    • 7.7. exos MP : séries de fonctions
  • 8. Séries entières
    • 8.1. Rayon de convergence
    • 8.2. Opérations sur les séries entières
    • 8.3. Régularité des séries entières
    • 8.4. Développement en série entière
    • 8.5. Théorème radial d'Abel
    • 8.6. Application 1 : calcul d'intégrale
    • 8.7. Application 2 : résolution d'un équation différentielle
    • 8.8. Application 3 : combinatoire
    • 8.9. Application 4 : inégalité
    • 8.10. Développement : preuve du théorème radial d'Abel
    • 8.11. exos MP : séries entières
  • 9. Structures algébriques usuelles
    • 9.1. Définition d'un groupe
    • 9.2. Groupe des entiers relatifs
    • 9.3. Groupe Z/nZ
    • 9.4. Groupe de permutations
    • 9.5. Partie génératrice
    • 9.6. Ordre d'un élément
    • 9.7. Rappels sur la structure d'anneau
    • 9.8. Anneau Z/nZ
    • 9.9. Idéaux
    • 9.10. Idéaux de Z et de K[X]
    • 9.11. K-Algèbres
    • 9.12. Développement : preuve du théorème de Lagrange
    • 9.13. Développement : irréductibilité de Z[X]
    • 9.14. Développement : polynômes cyclotomiques
  • 10. Réduction
    • 10.1. Compléments d'algèbre linéaire
    • 10.2. Le calcul par blocs
    • 10.3. Polynômes évalués en un élément d'une K-algèbre
    • 10.4. Le coeur de l'algèbre linéaire
    • 10.5. Eléments propres d'un endomorphisme
    • 10.6. Eléments propres d'une matrices carrée
    • 10.7. Polynôme caractéristique
    • 10.8. Diagonalisabilité
    • 10.9. Une diagonalisation concrète
    • 10.10. Trigonalisation
    • 10.11. Nilpotence
    • 10.12. Polynômes annulateurs et minimaux
    • 10.13. Lemme des noyaux
    • 10.14. Approche polynomiale de la réduction
    • 10.15. Sous-espaces caractéristiques
    • 10.16. Développement : Théorème de Cayley-Hamilton
    • 10.17. exos MP : réduction
  • 11. Endomorphismes d'un espace euclidien
    • 11.1. Définition de l'adjoint
    • 11.2. Propriétés de l'adjoint
    • 11.3. Lien transposition et adjonction
    • 11.4. Matrices orthogonales
    • 11.5. Isométries vectorielles
    • 11.6. Orientation
    • 11.7. Le groupe orthogonal en dimension 2
    • 11.8. Réduction des isométries
    • 11.9. Endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien
    • 11.10. Théorème spectral
    • 11.11. Endomorphismes autoadjoints positifs, définis positifs
    • 11.12. Développement : décomposition QR
    • 11.13. exos MP : euclidien
  • 12. Probabilités
    • 12.1. Dénombrement
    • 12.2. Axiomatisation
    • 12.3. Probabilités conditionnelles et indépendance
    • 12.4. Espaces probabilisés discrets
    • 12.5. Variables aléatoires discrètes
    • 12.6. Variables aléatoires indépendantes
    • 12.7. Lois usuelles
    • 12.8. Espérance de variables aléatoires
    • 12.9. Variance d'une variable aléatoire réelle, écart type et covariance
    • 12.10. Inégalités probabilistes et loi faible des grands nombres
    • 12.11. Fonctions génératrices
    • 12.12. Développement : preuve probabiliste du théorème de Weierstrass
    • 12.13. Développement : temps d'attente
    • 12.14. Développement : graphe aléatoire et transition de phase
    • 12.15. exos MP : probabilités
  • 13. Fonctions vectorielles
    • 13.1. Dérivabilité
    • 13.2. Opérations sur les fonctions dérivables
    • 13.3. Applications de classe Ck
    • 13.4. Intégration sur un segment
    • 13.5. Formules de Taylor
    • 13.6. exos MP : fonctions vectorielles
  • 14. Exponentielle d'un endomorphisme, d'une matrice
    • 14.1. Définition
    • 14.2. Propriétés algébriques de l'exponentielle
    • 14.3. Régularité de l'exponentielle
    • 14.4. Apparition d'une équation différentielle
    • 14.5. Développement : comportement exp(tA) lorsque t grand
    • 14.6. Développement : exp(matrices) = matrices inversibles
  • 15. Calcul différentiel et optimisation
    • 15.1. Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles
    • 15.2. Différentielle
    • 15.3. Lien entre différentielles, dérivées partielles, et Jacobienne
    • 15.4. Gradient
    • 15.5. Opérations sur les fonctions différentiables
    • 15.6. Vecteurs tangents
    • 15.7. Applications de classe C1
    • 15.8. Optimisation : étude au premier ordre
    • 15.9. Applications de classe Ck
    • 15.10. Optimisation : étude au second ordre
    • 15.11. Développement : différentielle du déterminant
    • 15.12. exos MP : calcul différentiel
  • 16. Equations différentielles linéaires
    • 16.1. Problème de Cauchy
    • 16.2. Propriété des solutions
    • 16.3. Théorème de Cauchy
    • 16.4. Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants
    • 16.5. Rappels de première année
    • 16.6. Wronskien
    • 16.7. Variation de la constante
    • 16.8. Idée de la démonstration du théorème de Cauchy
    • 16.9. Développement : démonstration du théorème de Cauchy
    • 16.10. Développement : unicité du théorème de Cauchy
    • 16.11. exos MP : équations différentielles