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Aperçu du cours Maths MP
Exercice 2
Soit et telle que :
Montrer que converge.
(h1)
Idée
Lorsque nous sommes perdus face à une somme ou une intégrale, un changement de point de vue s'avère nécessaire. Pensez alors à l'intégration par parties et au changement de variable en intégration. Pour l'intégration par parties, il est crucial de réfléchir à l'effet souhaité. Posez-vous la question : si je choisis cette fonction à intégrer, quel terme va apparaître ? Est-ce bénéfique pour ma démarche ? Par exemple, si vous souhaitez démontrer la convergence d'une intégrale grâce à une intégration par parties, assurez-vous de faire apparaître une intégrale dont la convergence est plus évidente.
Quant au changement de variable, il nécessite un peu plus de finesse, mais si vous êtes confronté à des expressions comme , ou plus généralement une fonction simple sans une fonction usuelle, pensez-y.
Lorsque nous sommes perdus face à une somme ou une intégrale, un changement de point de vue s'avère nécessaire. Pensez alors à l'intégration par parties et au changement de variable en intégration. Pour l'intégration par parties, il est crucial de réfléchir à l'effet souhaité. Posez-vous la question : si je choisis cette fonction à intégrer, quel terme va apparaître ? Est-ce bénéfique pour ma démarche ? Par exemple, si vous souhaitez démontrer la convergence d'une intégrale grâce à une intégration par parties, assurez-vous de faire apparaître une intégrale dont la convergence est plus évidente.
Quant au changement de variable, il nécessite un peu plus de finesse, mais si vous êtes confronté à des expressions comme , ou plus généralement une fonction simple sans une fonction usuelle, pensez-y.
Lorsque nous sommes perdus face à une somme ou une intégrale, un changement de point de vue s'avère nécessaire. Pensez alors à l'intégration par parties et au changement de variable en intégration. Pour l'intégration par parties, il est crucial de réfléchir à l'effet souhaité. Posez-vous la question : si je choisis cette fonction à intégrer, quel terme va apparaître ? Est-ce bénéfique pour ma démarche ? Par exemple, si vous souhaitez démontrer la convergence d'une intégrale grâce à une intégration par parties, assurez-vous de faire apparaître une intégrale dont la convergence est plus évidente.
Idée
Pour montrer la convergence d'une intégrale, voici les méthodes classiques :
- Si l'intégrale présente deux bornes problématiques, séparez l'intégrale en deux à un point approprié et montrez la convergence de chaque intégrale.
- DĂ©montrer la convergence absolue en utilisant les points suivants.
- Dans le cas des intégrales de fonctions à termes positifs, établir une inégalité, un équivalent, ou un grand pour se ramener à une forme maîtrisée, généralement les intégrales de Riemann de la forme . Notez que fonctionne souvent pour démontrer l'intégrabilité à l'infini.
Solution
Essayons de comprendre intuitivement la situation. L'hypothèse (h1) indique qu'au voisinage de l'infini, accélère. Autrement dit l'application
La méthode est assez classique et consiste à réaliser une intégration par parties astucieuse. L'idée est de faire apparaître un afin d'avoir qui est facilement primitivable:
Commençons donc par déjà prendre un tel que pour . En intégrant, nous avons alors
Or,
Ainsi,
Pour conclure, il suffit maintenant de remarquer que dans (2).
parcourt le cercle de plus en plus rapidement. Ainsi, en discrétisant le temps, si à l'instant , on se trouve au point , à l'instant "juste après", aura beaucoup varié et parcouru le cercle un grand nombre de fois avant d'atteindre un point dont nous ne pouvons pas prédire la position exacte. Ainsi, nous sentons que les points vont se répartir de manière uniforme sur le cercle unité. L'intégrale somme toutes ces contributions et comme le barycentre du cercle unité est , nous comprenons des compensations vont certainement avoir lieu et que la contribution pour des grand sera nulle.
La méthode est assez classique et consiste à réaliser une intégration par parties astucieuse. L'idée est de faire apparaître un afin d'avoir qui est facilement primitivable:
On essaye toujours de faire apparaître une intégrale qu'on maîtrise. Ici, nous allons passer au module dans l'intégrande de droite mais le problème est que nous ne savons pas grand chose sur : le module pose problème.
Commençons donc par déjà prendre un tel que pour . En intégrant, nous avons alors
Ecrivons maintenant que
(2)
puisque pour .
Ainsi,
Comme , l'inégalité affirme alors que
est absolument convergente et donc convergente.
Pour conclure, il suffit maintenant de remarquer que dans (2).