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Aperçu du cours Maths MP
Exercice 1
Soit la suite définie par
Montrer qu'on peut trouver tel que
Idée
Lorsque nous sommes face à un terme de la forme , il y a généralement deux choses à faire : vérifier qu'il n'y a pas un télescopage ou alors passer au (après avoir vérifié que les termes sont bien strictement positifs) afin de se ramener à la théorie des séries que l'on maîtrise.
Rappel
Soit et deux séries d'éléments strictement positifs. On a l'équivalence suivante :
On retiendra que pour montrer que en passant par et , il nous faudra une précision en .
Remarque
Nous n'intégrons ou ne sommons jamais directement des ou des . Nous leur attribuons plutôt un nom. Par exemple, si nous avons démontré que
Cette approche est également applicable lorsque nous avons affaire à des fonctions que nous souhaitons intégrer.
et que nous souhaitons sommer, nous n'Ă©crivons pas
En revanche, nous pouvons introduire définie par et écrire
Ensuite, nous pourrions dire, par exemple, que comme , alors converge.
Cette approche est également applicable lorsque nous avons affaire à des fonctions que nous souhaitons intégrer.
Idée
Il peut être intéressant de retenir que si est positive et décroissante, alors la suite
Solution
Nous n'avons pas de théorie sur les produits. Utilisons le pour nous ramener à celle des séries. Nous pouvons bien le faire puisque et donc les seront bien strictement positifs. On a alors :
Or,
Il ne reste plus qu'à traiter la somme de droite. On remarque que est positive et décroissante. Une comparaison avec une intégrale peut s'avérer intéressante.
DĂ©finissons la suite par :
En sommant l'inégalité de droite de (rectangle), on obtient que
Ainsi, on peut trouver tel que
En calculant l'intégrale, on peut alors trouver tel que
Si nous voulons obtenir un équivalent sur à partir d'un développement asymptotique de , l'obsession doit être d'avoir un terme d'erreur en .
Or,
Posons
Ecrivons
Comme , nous savons que converge. On peut alors trouver tel que
(old)
DĂ©finissons la suite par :
Montrons qu'elle converge. En dessinant une fonction et des rectangles, on voit facilement que
(rectangle)
et donc que
De plus, en prenant dans (rectangle), on obtient que
Or,
Nous venons de montrer que la suite est décroissante et minorée par . On conclut qu'elle est convergente.
Ainsi, on peut trouver tel que
En revenant Ă (old), on obtient que
avec un certaine constante réelle.
En calculant l'intégrale, on peut alors trouver tel que
Nous obtenons alors le résultat en passant à l'exponentielle.