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Aperçu du cours Maths PC

5. Familles sommables

5.3. Développement : série des inverses des nombres premiers

Nous savons que la série harmonique diverge. Si l'on considère une partie de plus petite que , nous pouvons nous interroger sur le comportement de lorsque certains entiers sont exclus. Une question particulièrement intéressante est de savoir ce qui se passe lorsque est l'ensemble des nombres premiers.

Exemple

Soit une famille de réels positifs et une suite croissante de parties de telles que
Montrer que
La fonction de Riemann est définie par
Montrer que
On notera l'ensemble des nombres premiers. En utilisant la question précédente, montrer que
(1)
Montrer que
On pourra démontrer qu'il existe une constante telle que
Montrer que
Conclure que

Quelque chose d'assez surprenant vient de se produire : nous avons démontré l'infinité des nombres premiers sans recourir, apparemment, à l'arithmétique traditionnelle. En effet, si l'ensemble des nombres premiers était fini, alors la somme serait finie. Nous avons utilisé des outils purement analytiques, et la démonstration de l'équation (1) nous a fait comprendre que nous avons intégré la partie existence et unicité du théorème fondamental de l'arithmétique dans une simple formule. C'est le tout début de la fabuleuse théorie analytique des nombres.

Comme la suite des est croissante, on sait que la suite est également croissante et admet donc une limite dans lorsque , que nous notons . Puisque les sont des sous-ensembles de , on a toujours
et donc en passant à la limite . Examinons maintenant l'inégalité dans l'autre sens. Soit une partie finie de . On peut alors trouver tel que puisque est finie. Ainsi,
En prenant la borne supérieure sur toutes les parties finies de , on obtient que . Nous avons donc bien démontré le résultat souhaité.
Nous savons que nous commettons seulement une erreur en en remplaçant une somme par une intégrale lorsque les fonctions sont "gentilles" (monotones et positives). Or, ici, nous allons montrer en particulier que diverge en , rendant l'erreur précédente négligeable. Nous nous lançons donc dans la comparaison série-intégrale.

Soit . Nous définissons par
qui est positive et décroissante.

Soit . Un dessin illustrerait que
Tout converge et nous pouvons alors sommer directement pour allant de à l'infini :
Nous venons donc de montrer que
ce qui implique que
ce qui est en fait un résultat plus fort que demandé.
Soit . Pour tout , notons le -ième nombre premier. Il s'agit d'un produit infini, et bien que nous ne soyons pas forcément très à l'aise avec ce concept, il s'agit de montrer que
Comme et que tout est positif, on peut écrire :
où désigne l'ensemble des entiers de dont la décomposition en nombres premiers n'en fait apparaître au plus que . Pour affirmer une telle chose, nous avons utilisé l'unicité de la décomposition en produit de nombres premiers. Encore une fois, tout est positif, il n'y a donc aucun problème à regrouper les termes. Or, la partie existence du théorème fondamental de l'arithmétique donne que
Les forment bien une suite croissante de , la question initiale montre alors que
Soit . La question précédente et la continuité de donne
On a alors :
Comme les , l'inégalité proposée en indication donnerait que
Nous avons donc bien , ce qui confirme le résultat. Il reste juste à démontrer l'inégalité. Nous posons définie sur par
prolongée par continuité en par (ceci est justifié par le développement limité de en ). est donc une fonction continue sur un compact, et est ainsi bornée, ce qui démontre l'existence d'une constante .
Nous avons vu que et donc . La question précédente donne alors que
et donc le résultat.
Supposons par l'absurde que converge. Alors, on a pour tout ,
qui fournit une domination indépendante de et sommable par hypothèse. Le théorème de convergence dominée à paramètre continu donne alors que
ce qui contredit la question précédente puisque est censé diverger lorsque .

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Chapitres

1. Intégration sur un intervalle quelconque
- 1.1. Rappels de première année
- 1.2. Premières définitions
- 1.3. Intégrales de référence
- 1.4. Propriétés de l'intégrale généralisée
- 1.5. Fonctions positives
- 1.6. Absolue convergence
- 1.7. Nouveaux outils asymptotiques
- 1.8. Intégration par partie et changement de variable
- 1.9. Théorème de convergence dominée
- 1.10. Développement : intégrale de Gauss
2. Intégrales à paramètre
- 2.1. Continuité
- 2.2. Dérivation
- 2.3. Classe Ck
- 2.4. Développement : fonction Gamma
- 2.5. Développement : intégrale de Dirichlet
3. Topologie des espaces vectoriels normés
- 3.1. Définitions
- 3.2. Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé
- 3.3. Comparaison
- 3.4. Premières notions topologiques
- 3.5. Caractérisation séquentielle
- 3.6. Etude locale d'une application
- 3.7. Continuité
- 3.8. Applications linéaires et multilinéaires continues
- 3.9. Dimension finie
4. Séries numériques et vectorielles
- 4.1. Rappels sur les séries numériques
- 4.2. Comparaison Série-Intégrale
- 4.3. Développement : transformation d'Abel
- 4.4. Développement : Equivalent de Stirling
5. Familles sommables
- 5.1. Termes positifs
- 5.2. Familles sommables de nombres complexes
- 5.3. Développement : série des inverses des nombres premiers
6. Suites de fonctions
- 6.1. Convergence simple
- 6.2. Convergence uniforme
- 6.3. Approximation uniforme
- 6.4. 4 théorèmes fondamentaux
- 6.5. Complément : équirépartition
7. Séries de fonctions
- 7.1. Définitions
- 7.2. Application des théorèmes de suites de fonctions
- 7.3. La pratique
- 7.4. Inversion série-intégrale
- 7.5. Développement : la fonction zeta aux entiers pairs strictement positifs
- 7.6. Développement : fonction continue mais nulle part dérivable
8. Séries entières
- 8.1. Rayon de convergence
- 8.2. Opérations sur les séries entières
- 8.3. Régularité des séries entières
- 8.4. Développement en série entière
- 8.5. Théorème radial d'Abel
- 8.6. Application 1 : calcul d'intégrale
- 8.7. Application 2 : résolution d'un équation différentielle
- 8.8. Application 3 : combinatoire
- 8.9. Application 4 : inégalité
- 8.10. Développement : preuve du théorème radial d'Abel
9. Réduction
- 9.1. Compléments d'algèbre linéaire
- 9.2. Le calcul par blocs
- 9.3. Polynômes évalués en un élément d'une K-algèbre
- 9.4. Le coeur de l'algèbre linéaire
- 9.5. Eléments propres d'un endomorphisme
- 9.6. Eléments propres d'une matrices carrée
- 9.7. Polynôme caractéristique
- 9.8. Diagonalisabilité
- 9.9. Une diagonalisation concrète
- 9.10. Trigonalisation
- 9.11. Nilpotence
- 9.12. Approche polynomiale de la réduction
- 9.13. Développement : Théorème de Cayley-Hamilton
10. Endomorphismes d'un espace euclidien
- 10.1. Matrices orthogonales
- 10.2. Isométries vectorielles
- 10.3. Orientation
- 10.4. Le groupe orthogonal en dimension 2
- 10.5. Réduction des isométries
- 10.6. Endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien
- 10.7. Théorème spectral
- 10.8. Endomorphismes autoadjoints positifs, définis positifs
- 10.9. Développement : décomposition QR
11. Probabilités
- 11.1. Dénombrement
- 11.2. Axiomatisation
- 11.3. Probabilités conditionnelles et indépendance
- 11.4. Espaces probabilisés discrets
- 11.5. Variables aléatoires discrètes
- 11.6. Variables aléatoires indépendantes
- 11.7. Lois usuelles
- 11.8. Espérance de variables aléatoires
- 11.9. Variance d'une variable aléatoire réelle, écart type et covariance
- 11.10. Inégalités probabilistes et loi faible des grands nombres
- 11.11. Fonctions génératrices
- 11.12. Développement : preuve probabiliste du théorème de Weierstrass
- 11.13. Développement : temps d'attente
- 11.14. Développement : graphe aléatoire et transition de phase
12. Fonctions vectorielles
- 12.1. Dérivabilité
- 12.2. Opérations sur les fonctions dérivables
- 12.3. Applications de classe Ck
- 12.4. Intégration sur un segment
- 12.5. Formules de Taylor