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Aperçu du cours Maths PC

2. Intégrales à paramètre

2.1. Continuité

On voudrait un théorème donnant la continuité de sur . Quelles sont les hypothèses naturelles pour construire un théorème ? Évidemment, pour pouvoir considérer l'intégrale, on a besoin que pour tout , la fonction soit continue par morceaux. Maintenant, on voudrait que existe bien pour tout . On pourrait rajouter dans le théorème que converge bien pour tout , mais en mathématiques, la convergence d'intégrales n'est pas très souple; on demande plutôt l'absolue convergence.

Imaginons que nous voulions un théorème qui nous dise quand est continue, avec et deux fonctions. Il est évident qu'une hypothèse élégante serait que et soient continues. Plus généralement, si nous voulons un théorème sur continues, on demandera que pour tout , soit continue. Ici, l'analogue continu serait alors l'hypothèse que
Enfin, le monde des intégrales est non trivial, on ne peut pas faire ce que l'on veut, sauf si on contrôle les choses. On demandera alors une hypothèse de domination :
La clé ici est de remarquer que ne dépend pas de . L'obsession dans les exercices sera alors de regarder et de chercher par tous les moyens possibles de le majorer par quelque chose qui ne dépend pas du paramètre . Évidemment, on pourrait tout à fait faire des majorations grossières et on aurait l'impression d'avoir fait tout comme il faut, mais il y a une hypothèse qui est rajoutée qui nous interdit la grossièreté, qui est :
Théorème
Soient un intervalle de , une partie d'un espace vectoriel normé de dimension finie et une fonction définie de dans .

  1. Pour tout , est continue par morceaux.
  2. Pour tout , est continue.
  3. Il existe une fonction intégrable sur telle que
Alors,
Remarques
  • Remarquons que l'hypothèse de domination donne automatiquement que l'intégrale est absolument convergente pour tout puisque l'est.
  • est positive. Pour montrer l'intégrabilité de , on peut alors utiliser les outils des fonctions positives.
  • Les deux premières hypothèses ne sont pas particulièrement passionnantes et sont généralement faciles à vérifier. On évitera de s'éterniser dessus.
  • En pratique, sera surtout un intervalle de . Il peut être difficile d'obtenir une telle domination sur tout l'intervalle puisque peut être étendu. Or, la continuité est une notion locale au sens où pour montrer la continuité d'une fonction en un point , on a uniquement besoin de connaître son comportement près de . On comprend alors que si on montre que
    alors, en fait,
    Pour obtenir ce résultat, on peut justement utiliser notre théorème en prenant .


    Il peut être astucieux de remarquer les problèmes en amont. Par exemple, si on voit que , on peut se douter qu'il pourrait y avoir un problème en . Nous chercherons alors à trouver une domination sur tout segment de . On prendra un segment de la forme et on cherchera alors à dominer correctement pour tout et par une fonction ne dépendant plus de et intégrable sur . On peut espérer que ce soit plus facile car nous nous sommes éloignés du point grâce à ce strictement positif.

    Toujours dans ce cas, on peut aussi chercher à démontrer que est continue sur tout intervalle de la forme avec . L'image à avoir est que nous pouvons capturer tous les points de par des intervalles de cette forme. On fixera alors et on cherchera alors à trouver une domination de pour tout et .

    L'idée est de se donner de la marge dans les zones où il pourrait y avoir des difficultés. On utilise les intervalles quand on réalise que les valeurs de élevées ne posent pas de problème et on préfère les dans le cas contraire.
Preuve
C'est une réécriture élégante du théorème de convergence dominée à paramètre réel.
Exemple
Monter que est continue sur .
Correction
On pose pour tout .
On remarque que pour tout , la fonction est bien continue par morceaux sur et que pour tout , est continue sur .

La méthode pour la domination consiste à prendre et puis de chercher à dominer par une fonction qui ne dépend plus de et on s'efforce de faire des inégalités précises pour que la fonction qui domine, souvent notée , soit bien intégrable sur .

Soit et . On a :
La fonction est bien intégrable sur . Le théorème permet alors de conclure que existe bien et est continue sur .
Exemple
Soit . On définit la transformée de Fourier de , notée par
Montrer que est continue sur .
Correction
Comme , on sait qu'elle est continue par morceaux et que . Ainsi, la fonction est continue par morceaux pour tout et la fonction est continue pour tout . De plus,
Or, est bien intégrable sur et est indépendante de . On peut alors conclure par le théorème de convergence dominée.
Exemple

Notons la fonction définie sur par
Montrer que est continue sur .
Correction
On pose pour tout . Attention, nous sommes confrontés à une intégrale impropre et il y a potentiellement un problème en si , c'est pourquoi nous avons choisi et non .

Pour tout , est continue par morceaux sur et pour tout , est continue sur .

Montrons la domination. On prend et , puis on cherche à dominer , autrement dit , par quelque chose qui ne dépend plus de . Et là, nous sommes bien embêtés et nous n'arrivons pas à faire quoi que ce soit.

La continuité est une notion locale. Nous avons alors déjà remarqué qu'il suffisait de trouver une domination pour tout . Prenons donc et considérons et , puis regardons :
Nous sommes très tentés d'écrire que , mais cette inégalité n'est valable que pour . Pour , nous avons plutôt . Ainsi,
où est définie sur par
La bonne nouvelle est que est bien intégrable sur . En effet, en , on a :
Comme , est intégrable en , donc l'est également. En , tout se passe bien puisque écrase tout. Il suffit de voir que
puisque .

On peut alors conclure l'exercice.
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Chapitres

  • 1. Intégration sur un intervalle quelconque
    • 1.1. Rappels de première année
    • 1.2. Premières définitions
    • 1.3. Intégrales de référence
    • 1.4. Propriétés de l'intégrale généralisée
    • 1.5. Fonctions positives
    • 1.6. Absolue convergence
    • 1.7. Nouveaux outils asymptotiques
    • 1.8. Intégration par partie et changement de variable
    • 1.9. Théorème de convergence dominée
    • 1.10. Développement : intégrale de Gauss
  • 2. Intégrales à paramètre
    • 2.1. Continuité
    • 2.2. Dérivation
    • 2.3. Classe Ck
    • 2.4. Développement : fonction Gamma
    • 2.5. Développement : intégrale de Dirichlet
  • 3. Topologie des espaces vectoriels normés
    • 3.1. Définitions
    • 3.2. Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé
    • 3.3. Comparaison
    • 3.4. Premières notions topologiques
    • 3.5. Caractérisation séquentielle
    • 3.6. Etude locale d'une application
    • 3.7. Continuité
    • 3.8. Applications linéaires et multilinéaires continues
    • 3.9. Dimension finie
  • 4. Séries numériques et vectorielles
    • 4.1. Rappels sur les séries numériques
    • 4.2. Comparaison Série-Intégrale
    • 4.3. Développement  : transformation d'Abel
    • 4.4. Développement : Equivalent de Stirling
  • 5. Familles sommables
  • 6. Suites de fonctions
    • 6.1. Convergence simple
    • 6.2. Convergence uniforme
    • 6.3. Approximation uniforme
    • 6.4. 4 théorèmes fondamentaux
    • 6.5. Complément : équirépartition
  • 7. Séries de fonctions
    • 7.1. Définitions
    • 7.2. Application des théorèmes de suites de fonctions
    • 7.3. La pratique
    • 7.4. Inversion série-intégrale
    • 7.5. Développement : la fonction zeta aux entiers pairs strictement positifs
    • 7.6. Développement : fonction continue mais nulle part dérivable
  • 8. Séries entières
    • 8.1. Rayon de convergence
    • 8.2. Opérations sur les séries entières
    • 8.3. Régularité des séries entières
    • 8.4. Développement en série entière
    • 8.5. Théorème radial d'Abel
    • 8.6. Application 1 : calcul d'intégrale
    • 8.7. Application 2 : résolution d'un équation différentielle
    • 8.8. Application 3 : combinatoire
    • 8.9. Application 4 : inégalité
    • 8.10. Développement : preuve du théorème radial d'Abel
  • 9. Réduction
    • 9.1. Compléments d'algèbre linéaire
    • 9.2. Le calcul par blocs
    • 9.3. Polynômes évalués en un élément d'une K-algèbre
    • 9.4. Le coeur de l'algèbre linéaire
    • 9.5. Eléments propres d'un endomorphisme
    • 9.6. Eléments propres d'une matrices carrée
    • 9.7. Polynôme caractéristique
    • 9.8. Diagonalisabilité
    • 9.9. Une diagonalisation concrète
    • 9.10. Trigonalisation
    • 9.11. Nilpotence
    • 9.12. Approche polynomiale de la réduction
    • 9.13. Développement : Théorème de Cayley-Hamilton
  • 10. Endomorphismes d'un espace euclidien
    • 10.1. Matrices orthogonales
    • 10.2. Isométries vectorielles
    • 10.3. Orientation
    • 10.4. Le groupe orthogonal en dimension 2
    • 10.5. Réduction des isométries
    • 10.6. Endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien
    • 10.7. Théorème spectral
    • 10.8. Endomorphismes autoadjoints positifs, définis positifs
    • 10.9. Développement : décomposition QR
  • 11. Probabilités
    • 11.1. Dénombrement
    • 11.2. Axiomatisation
    • 11.3. Probabilités conditionnelles et indépendance
    • 11.4. Espaces probabilisés discrets
    • 11.5. Variables aléatoires discrètes
    • 11.6. Variables aléatoires indépendantes
    • 11.7. Lois usuelles
    • 11.8. Espérance de variables aléatoires
    • 11.9. Variance d'une variable aléatoire réelle, écart type et covariance
    • 11.10. Inégalités probabilistes et loi faible des grands nombres
    • 11.11. Fonctions génératrices
    • 11.12. Développement : preuve probabiliste du théorème de Weierstrass
    • 11.13. Développement : temps d'attente
    • 11.14. Développement : graphe aléatoire et transition de phase
  • 12. Fonctions vectorielles
    • 12.1. Dérivabilité
    • 12.2. Opérations sur les fonctions dérivables
    • 12.3. Applications de classe Ck
    • 12.4. Intégration sur un segment
    • 12.5. Formules de Taylor