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Aperçu du cours Maths Expertes / un pas vers les études supérieures
7. Raisonnement et vocabulaire ensembliste
7.1. Opérateurs logiques
Le Code pénal français s’étend sur environ 3 000 pages, tandis que les bases des règles mathématiques tiennent en seulement quelques lignes, ce qui est particulièrement remarquable. Bien que les mathématiques aient la réputation d’exiger une rigueur absolue — et soient donc souvent perçues comme une discipline austère —, il est essentiel de rappeler que cette rigueur repose sur un petit nombre de règles fondamentales. C’est précisément ce fondement minimal qui rend possible une liberté de création extraordinairement grande.
Comme dans toute discipline, les initiés ont besoin d’un langage commun pour se comprendre et échanger efficacement. La première étape consiste à maîtriser les fondements de ce langage, afin de pouvoir un jour l’utiliser avec aisance et élaborer de nouveaux théorèmes. En mathématiques, la logique constitue la structure essentielle de toute pensée. S’entraîner à poser un cadre logique est une démarche incontournable : on ne peut ni ne doit faire l’impasse sur ce chapitre.
Les mathématiques ont pour but principal de découvrir d’autres propositions vraies ou fausses.
Selon le degré d'importance de l'assertion démontrée, on lui attribue un nom. Certaines assertions particulièrement importantes sont appelées :
En effet, soit est vraie, soit est vraie (et non les deux simultanément d'ailleurs), donc est toujours vraie.
Cela peut paraître déroutant. Considérons l'implication et regardons attentivement la table de vérité ci-dessus. On remarque que si est faux, alors quelque soit la valeur logique de , sera toujours vraie. Nous exprimons ici une idée bien connue : à partir de quelque chose de faux, on peut conclure n'importe quoi, bien que le raisonnement soit logiquement valide. Par exemple, si , alors est vrai, puisqu'on peut ajouter de chaque côté. Nous pouvons tout à fait l'écrire, le raisonnement est juste, mais il repose sur une hypothèse fausse.
On pourrait se demander pourquoi s'amuser à partir de quelque chose de faux. Après tout, personne n'a envie de raisonner sur des hypothèses erronées. Pourtant, c'est une démarche très intéressante. Prenons par exemple la conjecture de Goldbach, qui affirme que tout entier peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. On pourrait essayer de comprendre les implications d'un tel énoncé, c'est-à -dire chercher à produire une implication mathématique , où représente l'énoncé de la conjecture de Goldbach. Imaginons que nous trouvions un tel énoncé où nous savons avec certitude que est faux. Alors, nécessairement, ne saurait être vrai. On voit bien qu'accepter de manipuler des assertions fausses peut être très utile, car le raisonnement reste parfaitement pertinent et nous permet de conclure que est faux. Nous venons d'apercevoir le raisonnement par l'absurde, sur lequel nous reviendrons plus tard.
En effet, si l'on examine la table de vérité de l'implication, on constate que si est vraie et que est vraie, alors seule la première ligne de la table est possible, ce qui implique nécessairement que est vraie.
C'est ainsi que fonctionnent les mathématiques : il s'agit de trouver un résultat déjà démontré et d'identifier le bon théorème qui permet d'en déduire que est vraie. D'ailleurs, lorsqu'un théorème s'écrit sous la forme d'une implication , on dit que correspond aux hypothèses du théorème et que constitue la conclusion.
Par exemple, l'implication "S'il pleut, alors il y a des nuages" est vraie. Cependant, sa réciproque "S'il y a des nuages, alors il pleut" est fausse, car la présence de nuages n'implique pas nécessairement qu'il pleut.
Démontrons que si est vraie, alors sa contraposée l'est aussi.
Proposons maintenant une démonstration plus efficace. Souvenons-nous que peut s'écrire sous la forme .
Ainsi, l'assertion peut s'écrire , soit , qui est exactement . On comprend donc que et sa contraposée signifient exactement la même chose logiquement.
En français, bien que nous utilisions des formulations différentes, nous exprimons en réalité la même idée. Par exemple, les phrases "S'il pleut, alors il y a des nuages" et "S'il n'y a pas de nuages, alors il ne pleut pas" sont équivalentes, bien qu'elles soient formulées différemment.
- Si on a son bac, alors on a au moins 10 de moyenne.
- Si on a au moins 10 de moyenne, alors on a son bac
sont vraies.Par définition de l'implication et de l'opérateur ET, signifie que et sont toutes deux vraies.
On peut aussi interpréter cela en termes d'information. Lorsque est vrai, cela signifie que si quelqu'un nous dit que est vrai, alors on sait immédiatement que est vrai. On dit parfois que démontrer est plus fort que démontrer , ou que contient plus d'information que .
Dire que la réciproque est fausse signifie que savoir que est vrai ne suffit pas pour conclure que l'est. Il nous faut davantage d’informations.
En revanche, lorsqu'il y a Ă©quivalence, cela signifie que dire que est vrai ou dire que est vrai revient exactement au mĂŞme. Si une personne affirme et une autre affirme , aloqrs tout le monde en tirera exactement les mĂŞmes conclusions.
Logiquement, dire que est vrai ne signifie pas nécessairement que et sont toutes deux vraies. En regardant la table de vérité, on voit que et peuvent être simultanément fausses.
Dans une démonstration, il ne suffit pas de prendre deux assertions qui sont vraies et de dire qu'elles sont équivalentes. Ce qui est intéressant, c'est de prouver que deux assertions sont équivalentes sans se soucier de leur valeur de vérité. Cela permet de reformuler un énoncé sous une forme potentiellement plus facile à démontrer.
Par exemple, l'hypothèse de Riemann est l'une des plus grandes conjectures mathématiques. Les mathématiciens cherchent des énoncés équivalents qui pourraient être plus simples à prouver. Trouver une équivalence pertinente permet parfois d'apporter un nouvel éclairage sur un problème complexe.
Comme dans toute discipline, les initiés ont besoin d’un langage commun pour se comprendre et échanger efficacement. La première étape consiste à maîtriser les fondements de ce langage, afin de pouvoir un jour l’utiliser avec aisance et élaborer de nouveaux théorèmes. En mathématiques, la logique constitue la structure essentielle de toute pensée. S’entraîner à poser un cadre logique est une démarche incontournable : on ne peut ni ne doit faire l’impasse sur ce chapitre.
DĂ©finition
On appelle assertion une phrase qui est syntaxiquement correcte, qui a du sens et Ă laquelle on associe une seule valeur logique : vraie ou fausse.Exemple
- : « » est une assertion fausse.
- « Pour tout nombre réel , » n’est pas une assertion puisque n’est pas défini si .
- : « L'assertion précédente est vraie » est une assertion fausse.
- : « Lorsqu'il pleut, il y a des nuages » est une assertion vraie.
- : « Tout nombre pair peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers » est une assertion dont on ne sait pas si elle est vraie ou fausse. On dit que c’est une conjecture.
Selon le degré d'importance de l'assertion démontrée, on lui attribue un nom. Certaines assertions particulièrement importantes sont appelées :
- Lemmes : résultats intermédiaires qui servent généralement à prouver des théorèmes ;
- Théorèmes : résultats majeurs dont la démonstration est souvent complexe et fondamentale ;
- Corollaires : conséquences directes ou immédiates d’un théorème.
- La négation ( ou ) ;
- Le ET () ;
- Le OU () ;
- L’implication () ;
- L’équivalence ( ou « est équivalent à »).
DĂ©finition
Soit une assertion. On associe à la négation de , qu’on note (ou ), une nouvelle assertion qui est vraie lorsque est fausse, et fausse lorsque est vraie.Remarques
- La négation peut être représentée sous forme de table de vérité :où l’on donne la valeur logique (Vrai ou Faux) de selon celle de .
Exemple
- La négation de : « » est : « » qui est donc vraie puisque était fausse.
- La négation de : « L'assertion précédente est vraie » est : « L'assertion précédente est fausse» qui est vraie.
- La négation de : « Lorsqu’il pleut, il y a des nuages » est : « Il pleut alors qu’il n’y a pas de nuages » qui est fausse.
- La négation de : « Tout nombre pair peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers » est :
« Il existe un nombre pair qui ne peut pas s’écrire comme la somme de deux nombres premiers » est toujours une conjecture puisqu'on ne connait pas sa valeur logique.
DĂ©finition
Soient et deux assertions. On peut associer une nouvelle assertion, notée (ou ()), qui est vraie lorsque et sont vraies simultanément.Remarques
- Le ET peut être représenté sous forme de table de vérité :Cela permet de voir efficacement la valeur logique de selon les valeurs logiques de et .
On voit que la seule façon que soit vraie est que et soient vraies. - Notons que et ont la même valeur logique. On dit que le symbole ET est commutatif.
DĂ©finition
Soient et deux assertions. On peut associer une nouvelle assertion, notée (ou ), qui est vraie lorsque ou (éventuellement les deux) sont vraies.Remarques
- Le OU peut être représenté sous forme de table de vérité :
- On notera que la langue française comporte une erreur courante avec : "Fromage ou le dessert."
- Notons que et ont la mĂŞme valeur logique. On dit que le symbole OU est commutatif.
Exemple
Soit une proposition. Alors est toujours vraie : c'est ce qu'on appelle une tautologie. En effet, soit est vraie, soit est vraie (et non les deux simultanément d'ailleurs), donc est toujours vraie.
DĂ©finition
Soient et deux assertions. On peut associer une nouvelle assertion, notée , qui est . Cette nouvelle assertion est écrite de manière plus familière en français par : "si , alors ".Remarques
- L’implication peut être représentée sous forme de table de vérité :En effet, il suffit de combiner les tables de vérité des symboles OU et Non.
- D'autres façons d'exprimer l'implication en français sont les suivantes :
Pour avoir , il faut .
Pour avoir , il suffit d'avoir .
est une condition suffisante pour .
est une condition nécessaire pour .
Ces expressions se lisent sur la table de vérité. Supposons que est vraie. Alors par exemple, on voit que si est vraie alors nécessairement est vraie (c'est la première ligne du tableau).
Exemple
"S'il pleut, alors il y a des nuages" est une implication. "Il pleut" est une condition suffisante pour qu'il y ait des nuages, au sens où cela suffit pour qu'il y ait des nuages ; il n'y a pas besoin d'autres conditions. "Il y a des nuages" est une condition nécessaire pour qu'il pleuve, au sens où il ne peut pas pleuvoir sans nuages.Exemple
"Si , alors " est une assertion vraie. Cela peut paraître déroutant. Considérons l'implication et regardons attentivement la table de vérité ci-dessus. On remarque que si est faux, alors quelque soit la valeur logique de , sera toujours vraie. Nous exprimons ici une idée bien connue : à partir de quelque chose de faux, on peut conclure n'importe quoi, bien que le raisonnement soit logiquement valide. Par exemple, si , alors est vrai, puisqu'on peut ajouter de chaque côté. Nous pouvons tout à fait l'écrire, le raisonnement est juste, mais il repose sur une hypothèse fausse.
On pourrait se demander pourquoi s'amuser à partir de quelque chose de faux. Après tout, personne n'a envie de raisonner sur des hypothèses erronées. Pourtant, c'est une démarche très intéressante. Prenons par exemple la conjecture de Goldbach, qui affirme que tout entier peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. On pourrait essayer de comprendre les implications d'un tel énoncé, c'est-à -dire chercher à produire une implication mathématique , où représente l'énoncé de la conjecture de Goldbach. Imaginons que nous trouvions un tel énoncé où nous savons avec certitude que est faux. Alors, nécessairement, ne saurait être vrai. On voit bien qu'accepter de manipuler des assertions fausses peut être très utile, car le raisonnement reste parfaitement pertinent et nous permet de conclure que est faux. Nous venons d'apercevoir le raisonnement par l'absurde, sur lequel nous reviendrons plus tard.
Exemple
En pratique, imaginons qu'un mathématicien cherche à démontrer qu'une assertion est vraie. Pour cela, son collègue lui a déjà montré qu'une assertion est vraie. Par ailleurs, une autre personne a démontré que . Dans ce cas, il peut en conclure que est vraie. C'est ce qu'on appelle un syllogisme.En effet, si l'on examine la table de vérité de l'implication, on constate que si est vraie et que est vraie, alors seule la première ligne de la table est possible, ce qui implique nécessairement que est vraie.
C'est ainsi que fonctionnent les mathématiques : il s'agit de trouver un résultat déjà démontré et d'identifier le bon théorème qui permet d'en déduire que est vraie. D'ailleurs, lorsqu'un théorème s'écrit sous la forme d'une implication , on dit que correspond aux hypothèses du théorème et que constitue la conclusion.
Exemple
On appelle réciproque de l'assertion , l'assertion . Cependant, la réciproque n'est pas nécessairement vraie lorsque l'implication est vraie.Par exemple, l'implication "S'il pleut, alors il y a des nuages" est vraie. Cependant, sa réciproque "S'il y a des nuages, alors il pleut" est fausse, car la présence de nuages n'implique pas nécessairement qu'il pleut.
Exemple
Étudions maintenant une implication . On appelle contraposée de cette implication l'assertion .Démontrons que si est vraie, alors sa contraposée l'est aussi.
Correction
Nous avons la table de vérité suivante :On nous demande de montrer qu'il est impossible de se retrouver dans la deuxième ligne, c'est-à -dire qu'il n'est pas possible que soit vraie et que soit fausse, autrement dit que soit vraie et que soit fausse. Or, on sait que l'énoncé suppose que est vrai, ce qui signifie que la situation où est vraie et est fausse est impossible. Cela prouve que est toujours vraie.
Proposons maintenant une démonstration plus efficace. Souvenons-nous que peut s'écrire sous la forme .
Ainsi, l'assertion peut s'écrire , soit , qui est exactement . On comprend donc que et sa contraposée signifient exactement la même chose logiquement.
En français, bien que nous utilisions des formulations différentes, nous exprimons en réalité la même idée. Par exemple, les phrases "S'il pleut, alors il y a des nuages" et "S'il n'y a pas de nuages, alors il ne pleut pas" sont équivalentes, bien qu'elles soient formulées différemment.
DĂ©finition
Soient et deux assertions. On définit leur équivalence logique, notée , par :En français, on dit que est équivalent à .
Remarques
- En combinant les tables de vérité de l'opérateur ET et de l'implication, on obtient la table de vérité de l’équivalence logique :On voit ainsi que " est équivalent à " signifie que et ont toujours la même valeur logique : soit elles sont toutes les deux vraies, soit elles sont toutes les deux fausses.
- On utilise également les expressions "il faut et il suffit" ou "condition nécessaire et suffisante" pour exprimer une équivalence logique.
Exemple
"Avoir son bac Ă©quivaut Ă avoir une moyenne d'au moins 10." Cette Ă©quivalence est vraie, car :- Si on a son bac, alors on a au moins 10 de moyenne.
- Si on a au moins 10 de moyenne, alors on a son bac
sont vraies.
On peut aussi interpréter cela en termes d'information. Lorsque est vrai, cela signifie que si quelqu'un nous dit que est vrai, alors on sait immédiatement que est vrai. On dit parfois que démontrer est plus fort que démontrer , ou que contient plus d'information que .
Dire que la réciproque est fausse signifie que savoir que est vrai ne suffit pas pour conclure que l'est. Il nous faut davantage d’informations.
En revanche, lorsqu'il y a Ă©quivalence, cela signifie que dire que est vrai ou dire que est vrai revient exactement au mĂŞme. Si une personne affirme et une autre affirme , aloqrs tout le monde en tirera exactement les mĂŞmes conclusions.
Logiquement, dire que est vrai ne signifie pas nécessairement que et sont toutes deux vraies. En regardant la table de vérité, on voit que et peuvent être simultanément fausses.
Dans une démonstration, il ne suffit pas de prendre deux assertions qui sont vraies et de dire qu'elles sont équivalentes. Ce qui est intéressant, c'est de prouver que deux assertions sont équivalentes sans se soucier de leur valeur de vérité. Cela permet de reformuler un énoncé sous une forme potentiellement plus facile à démontrer.
Par exemple, l'hypothèse de Riemann est l'une des plus grandes conjectures mathématiques. Les mathématiciens cherchent des énoncés équivalents qui pourraient être plus simples à prouver. Trouver une équivalence pertinente permet parfois d'apporter un nouvel éclairage sur un problème complexe.
Chapitres
- 1. Nombres complexes : point de vue algébrique
- 2. Nombres complexes : point de vue géométrique
- 2.1. Développement : suite arithmético-géométriques
- 2.2. Développement: L'inégalité triangulaire pour les nombres complexes
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- 3. Nombres complexes et trigonométrie
- 4. équations polynomiales
- 5. utilisation des nombres complexes en géométrie
- 5.1. Développement: racines n-ième de l'unité
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- 6. Arithmétique dans l’ensemble des entiers relatifs
- 6.1. Divisibilité
- 6.2. PGCD et algorithme d'Euclide
- 6.3. Relation de Bézout
- 6.4. Entiers premiers entre eux
- 6.5. PGCD d'un nombre fini d'entiers
- 6.6. Nombres premiers
- 6.7. Décomposition en facteurs premiers
- 6.8. Congruence
- 6.9. Résolution des congruences linéaires
- 6.10. Développement : Triplets pythagoriciens.
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- 7. Raisonnement et vocabulaire ensembliste
- 7.1. Opérateurs logiques
- 7.2. Quantificateurs
- 7.3. L'art de la preuve
- 7.4. Négations d'assertions
- 7.5. Les réflexes absolus
- 7.6. Les différentes formes de raisonnement
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