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Le Code pénal français s’étend sur environ 3 000 pages, tandis que les bases des règles mathématiques tiennent en seulement quelques lignes, ce qui est particulièrement remarquable. Bien que les mathématiques aient la réputation d’exiger une rigueur absolue — et soient donc souvent perçues comme une discipline austère —, il est essentiel de rappeler que cette rigueur repose sur un petit nombre de règles fondamentales. C’est précisément ce fondement minimal qui rend possible une liberté de création extraordinairement grande.

Comme dans toute discipline, les initiés ont besoin d’un langage commun pour se comprendre et échanger efficacement. La première étape consiste à maîtriser les fondements de ce langage, afin de pouvoir un jour l’utiliser avec aisance et élaborer de nouveaux théorèmes. En mathématiques, la logique constitue la structure essentielle de toute pensée. S’entraîner à poser un cadre logique est une démarche incontournable : on ne peut ni ne doit faire l’impasse sur ce chapitre.
Les mathématiques ont pour but principal de découvrir d’autres propositions vraies ou fausses.

Selon le degré d'importance de l'assertion démontrée, on lui attribue un nom. Certaines assertions particulièrement importantes sont appelées :

• Lemmes : résultats intermédiaires qui servent généralement à prouver des théorèmes ;
  
• Théorèmes : résultats majeurs dont la démonstration est souvent complexe et fondamentale ;
  
• Corollaires : conséquences directes ou immédiates d’un théorème.

À partir de plusieurs assertions, on peut en créer de nouvelles à l’aide d’opérateurs logiques. Les cinq opérateurs principaux sont :

• La négation ( ou ) ;
  
• Le ET () ;
  
• Le OU () ;
  
• L’implication () ;
  
• L’équivalence ( ou «  est équivalent à  »).

Par définition de l'implication et de l'opérateur ET, signifie que et sont toutes deux vraies.

On peut aussi interpréter cela en termes d'information. Lorsque est vrai, cela signifie que si quelqu'un nous dit que est vrai, alors on sait immédiatement que est vrai. On dit parfois que démontrer est plus fort que démontrer , ou que contient plus d'information que .

Dire que la réciproque est fausse signifie que savoir que est vrai ne suffit pas pour conclure que l'est. Il nous faut davantage d’informations.

En revanche, lorsqu'il y a équivalence, cela signifie que dire que est vrai ou dire que est vrai revient exactement au même. Si une personne affirme et une autre affirme , aloqrs tout le monde en tirera exactement les mêmes conclusions.

Logiquement, dire que est vrai ne signifie pas nécessairement que et sont toutes deux vraies. En regardant la table de vérité, on voit que et peuvent être simultanément fausses.

Dans une démonstration, il ne suffit pas de prendre deux assertions qui sont vraies et de dire qu'elles sont équivalentes. Ce qui est intéressant, c'est de prouver que deux assertions sont équivalentes sans se soucier de leur valeur de vérité. Cela permet de reformuler un énoncé sous une forme potentiellement plus facile à démontrer.

Par exemple, l'hypothèse de Riemann est l'une des plus grandes conjectures mathématiques. Les mathématiciens cherchent des énoncés équivalents qui pourraient être plus simples à prouver. Trouver une équivalence pertinente permet parfois d'apporter un nouvel éclairage sur un problème complexe.